Ito의 보조정리

이 글에서는

2022.06.01 - [금융공학] - 주식의 수학적 모델#2

주식의 수학적 모델#2

에서 다뤘던 Ito Lemma(이토 보조정리)의 일반화된 버전에 대해 다루겠습니다. 사실 정확한 명칭은

$$\rm{It\hat{o}}$$

입니다만 타이핑의 편의를 위해 Ito로 쓰겠습니다.

 

인자한 모습의 Kiyosi Ito, Wikepedia

 

Stochastic process $X_t$가 

$$dX_t = a(t, X_t) dt + b(t, X_t) dW_t$$

로 정의되어 있다고 합시다. $a(t, x)$와 $b(t, x)$는 2 변수 함수입니다. 지난 글에서 Ito Lemma의 간략한 버전을 알아봤는데, 사실 Ito Lemma는 stochastic process 하에서의 테일러 전개라고 생각하면 됩니다(물론 엄밀한 증명이 필요하죠)

 

2 변수 함수 $f(t,x):\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 에 대하여

$$df(t,X_t)$$  

가 어떻게 표시되는지를 나타내 봅시다.

$$df(t,X_t) = f(t+dt, X_{t+dt} ) -f(t,X_t)$$

이므로 다변수의 테일러 전개를 무작정 사용하면.

 

$$\begin{align} f(t+dt, X_{t+dt}) - f(t,X_t)=& \frac{\partial f}{\partial t} (t,X_t) dt +\frac{\partial f}{\partial X_t} (t,X_t) dX_t\\         & +\frac12 \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} (t,X_t) (dt)^2 +\frac12 \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} (t,X_t) (dX)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial t \partial X_t} (t,X_t) dt \cdot dX_t \\ &+ \cdots \tag{1} \end{align}$$

 

그런데 다음의 관계식이 있었죠?

1. $dt^2 =0~,~ dt dW_t =0$ , 여기를 참고
2. $dW_t^2 =dt$ , 여기를 참고

따라서,

$$dt\cdot dX_t = dt\cdot(a(t,X_t)dt + b(t,X_t) dW_t ) = 0$$

이고

$$dX_t^2 = (a(t,X_t)dt + b(t,X_t)dW_t)^2 = b^2(t,X_t) dt$$

입니다.

또 수식 (1)의 $\cdots$에 숨어있는 항들은 다 $dt, dX_t$의 3제곱 이상의 항들로 이루어져 있으므로 죄다 0입니다.

따라서 수식(1)을 간단히 정리하면

$$df(t,X_t) = \frac{\partial f}{\partial t} (t,X_t) dt +\frac{\partial f}{\partial X_t} (t,X_t) (a(t,X_t)dt+b(t,X_t) dW_t) +  \frac12 b^2(t,X_t) \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} (t,X_t) dt$$  

 

즉,

Ito Lemma(이토의 보조정리)

$$\begin{align} df(t,X_t) = & \left(\frac{\partial f}{\partial t} (t,X_t)+ a(t,X_t)\frac{\partial f}{\partial X_t} (t,X_t) +\frac12 b^2(t,X_t) \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} (t,X_t) \right) dt \\ &~~~+ b(t,X_t) \frac{\partial f}{\partial X_t} (t,X_t) dW_t \end{align}$$

가 성립합니다. 이것이 바로 Ito Lemma입니다. 좀 더 간편하게 축약하기 위해

$$a(t,X_t) := a, b(t,X_t) :=b$$

$$\frac{\partial f}{\partial t} (t,X_t) := f_t ~,~ \frac{\partial f}{\partial X_t} (t,X_t) := f_X ~,~ \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} (t,X_t) = f_{XX}$$  

이라 하면 Ito Lemma는

$$df = \left(f_t + af_X + \frac12 b^2 f_{XX}\right) dt + b f_X dW_t$$

처럼 간단하게 쓸 수 있습니다.

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변수가 $t, x$인 2 변수 함수에 대해서 했는데요, 사실 시점 $t$ 변수가 없어도 되고 $x$변수가 여러개여도 됩니다. 테일러전개만 쓰면 되는 것이죠.  예컨대 stochastc process $X_t, Y_t$와 어떤 2변수 함수 $f(x,y)$에 대하여,

$$df(X_t,Y_t) = f_X dX_t +f_Y dY_t + \frac12 f_{XX} dX_t^2 + \frac12 f_{YY}dY_t^2 + f_{XY} dX_t dY_t  \tag{2}$$

, 여기서 $X,Y$의 아래 첨자는 편미분을 의미합니다.

 

만일 수식(2)의 $f$를

$$f(x,y) =xy$$

라 하면 어떨까요? $f_x (x,y) = y, f_y(x,y)=x, f_{xy}(x,y)=1$

이므로 정리하면

라이프니츠 곱셈 법칙
$$d(X_tY_t) = X_t dY_t + Y_t dX_t + dX_t dY_t$$

위 등식은  너무나 유명하여  최고의 수학자 중 한 명인 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)의 이름을 붙였습니다.

난, Polymath여~ 미적분을 정립한 라이프니츠

라이프니츠 곱셈 정리는 그 활용도가 엄청 높은데요, 예를 들어 어떤 stochastic  함수 $X_t$에 대해

$$d(e^{-rt}X_t)$$

를 구해봅시다. 이 형태는 금융공학에서 현재 시점으로의 할인한 값을 구할 때 많이 쓰는 식으로 셈법을 알아두면 편리합니다. 보통 $r$은 무위험 이자율이고 $t$는 시점으로서 $e^{-rt}$는 할인율(discount factor)를 의미합니다.

 

$Y_t = e^{-rt}$ 라 놓으면 $dY_t = -re^{-rt} dt$이므로

$$d(e^{-rt}X_t) = d(Y_t X_t) = Y_t dX_t + X_t dY_t +dX_t dY_t =e^{-rt}(dX_t -rX_t)$$

를 만족합니다. 제일 끝항인 $dX_t dY_t$는 최소 $dt^{3/2}$ 항 이상이므로 계산에서 사라지게 됩니다.