미분방정식을 연립방정식으로, FDM #1

 

이번 글에서는 미분방정식을 해결하는 방법을 소개합니다.  수많은 자연현상, 경제 현상, 사회 현상 등 변화와 상태를 연결 짓는 고리가 미분방정식으로 표현되는 경우가 너무나 많고, 이러한 방정식의 해를 찾기 위해 많은 연구가 이루어져 왔고, 지금도, 앞으로도 많은 방법론이 발견될 것입니다.

 

학부 시절 상미분 방정식, 편미분 방정식 수업을 들으며 해를 찾는 과정에 매료되었던 기억이 납니다. 계산을 곧잘 하여 좋은 점수도 받았구요. 그때는 어떤 미분방정식을 가져다줘도 풀 자신이 있었습니다.

 

하지만 공부를 하면 할 수록 풀리는 미분방정식은 빙산의 일각임을 깨달았습니다.  안 풀리는 문제가 수두룩하여 수치해석적 접근이 필요하게 된 순간에는, 이건 수학이 아닌 듯하여 괜히 거리감이 생기기도 했고 제가 설계한 미분방정식이 explicit 하게 풀리지 않아 계수들이나 조건들을 교묘히 바꾸는 등 제 자신을 속이고 최면 거는 뻘한 행위도 많이 했었지요.

 

금융공학에서도 유명한 미분방정식이 나옵니다. 엄밀히 말하면, 시점 $t$와 기초자산 $S$에 대한 편미분 방정식입니다. 이 방정식을 풀어 옵션 등 각종 파생상품의 가치를 구합니다.  하지만 앞서 얘기했듯 쉽게 풀리는 일이 없습니다. 따라서 완벽한 답이 아니더라도 근사치를 구하게 되는데요. 그 방법 중 하나가 바로

유한차분법(Finite Difference Method , FDM)

이라 불리는 방법입니다.

 

유한차분법(FDM이란?)

유한차분법을 간략히 소개하면 다음과 같습니다.

 

1. 어려운 미분방정식을 차분방정식(difference equation)으로 바꿈
2. 차분방정식을 연립방정식 형태로 전환되어, 해당 연립방정식을 푸는 방법 

 아직 말이 어려운데, 차근차근 살펴보겠습니다.

 

 

미분을 유한차분하기

FDM을 이해하기 이해서는 우선 함수 $f$의 테일러 전개를 알고 있어야 합니다. 또는 고등학교 때 배운 미분의 극한식 표현을 알고 있으면 도움이 됩니다. 양쪽으로 다 접근해 보죠. 

미분 가능한 함수 $f$사 있을 때, $f'(x)$는

$$ f'(x) = \lim_{h\rightarrow \infty} \frac{f(x+h)-f(x)}h$$ 

로 주어집니다. 따라서 아주 작은 $h$에 대해

$$ f'(x) \approx  \frac{f(x+h)-f(x)}h \tag{1}$$

라 쓸 수 있습니다.

만일 수식(1)에 $h$ 대신 $-h$를 넣으면 역시 $-h$도 작을 것이고 따라서

$$ f'(x)  \approx  \frac{f(x-h)-f(x)}{-h} =  \frac{f(x)-f(x-h)}h \tag{2}$$

가 성립합니다.

식(1)과 (2)를 더하여 2로 나누어 보면

$$ f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\tag{3}$$

입니다.

 

같은 $f'(x)$라도 이렇게 3가지 유형으로 쓸 수 있습니다.

 

그렇다면 이계도함수 $f''(x)$는 어떨까요? 가장 많이 쓰는 형태 하나만 소개해 보겠습니다.

 

$$
\begin{align}
f''(x) &\approx \frac{f(x+\frac h2)-f(x-\frac h2)}{h} \\
      & = \frac{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{f(x)-f(x-h)}{h}}{h}\\
& = \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}
\end{align}
$$

 

첫 번째, 두 번째 등식 모두 수식(3) 번과 같이 차분하는데 그 차분의 길이를 $h/2$로 둔 것입니다. 물론 다른 차분법도 있습니다만, FDM에 응용하기 위해서 가장 알맞은 차분법입니다.

 

일계 도함수를 나타내는 수식(1), (2), (3)은 차분의 방향에 따라 각각 forward, backward, central difference로 나뉩니다. 아래 그림을 참고해 보세요.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

 

구분	유형	수식
$$f'(x)$$	forward difference	$$ \frac{f(x+h)-f(x)}h $$
	backward difference	$$ \frac{f(x)-f(x-h)}h $$
	central difference	$$ \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$
$$f''(x)$$	central difference	$$ \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} $$

 

 

이 과정은 테일러 전개를 사용해서 설명할 수도 있습니다.

2022.05.19 - [수학의 재미/아름다운 이론] - 테일러 전개 #1

테일러 전개 #1

 

테일러 전개에 따르면 미분 가능한 함수 $f(x)$는

$$f(x+h) = f(x) + f'(x) h + \frac{f''(x)}{2!} h^2 + \frac{f'''(x)}{3!} h^3 + \cdots \tag{4} $$

의 무한급수로 표현 가능합니다. 

 

식(4)에 $h$대신 $-h$를 대입하면

$$f(x-h) = f(x) - f'(x) h + \frac{f''(x)}{2!} h^2 - \frac{f'''(x)}{3!} h^3 + \cdots \tag{5} $$

 

이 두 개의 식 (4), (5)를 요리해 볼 건데요, 우선 식(4)에서

$$ \frac{f(x+h)-f(x)}h = f'(x) + \frac{f''(x)}{2!} h +\cdots \approx f'(x) $$

입니다. 왜냐하면 $h$가 극히 작은 수이기 때문에 이계 미분과 $\cdots$ 안의 수식이 다 0으로 갑니다.

바로 forward difference 이죠.

 

식(5)을 요리하면

$$ \frac{f(x-h)-f(x)}h = - f'(x) + \frac{f''(x)}{2!} h -\cdots \approx -f'(x) $$

입니다. 

이것은 backward difference입니다.

 

식(4)과 (5)를 변변이 빼 보면

$$ f(x+h)-f(x-h) = 2f'(x)h +\cdots $$이고 따라서 

$$ \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} = f'(x) +\cdots $$ 입니다. 즉 central difference를 의미합니다.

 

식(4)와 (5)를 변변이 더해볼까요.

$$ f(x+h)+f(x-h) = 2f(x) +2\frac{f''(x)}{2!} h^2 + \cdots $$ 이므로

$$\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} = f''(x) +\cdots $$

이고 마찬가지로 $h$는 아주 작은 수이기 때문에 이계도함수의 central difference 가 나오게 됩니다.

 

이게 FDM 이론의 거의 대부분입니다. 이제 forward, backward, central difference를 적재적소에 사용하여 미분방정식을 차분방정식으로 바꿔주면 됩니다.

 

 

다음 글에서 미분방정식 하나 풀어보겠습니다.