세타: 시간의 흐름이 콜옵션에 미치는 영향

이 글은

2023.05.12 - [금융공학] - 콜옵션 가격 변동 헤지 시뮬레이션: 주가가 만기까지 횡보한다면..

콜옵션 가격 변동 헤지 시뮬레이션: 주가가 만기까지 횡보한다면..

에서 이어집니다.

 

저번 글에서 우리는 콜옵션의 가격 변화에 기초자산의 가격 변동이 미치는 영향 즉, 델타, 감마, 스피드에 대해서 알아봤습니다.

하지만,  콜옵션의 가격 변화에 영향을 미치는 요인이 하나 더 존재합니다. 바로 만기까지 남은 시간, 즉, 잔존만기인 거죠.

 

옵션에는 시간가치라는 개념이 있습니다. 콜옵션의 경우, 현재 기초자산 가격이 행사가 보다 작아 내재 가치가 0일지라도 콜옵션의 가격은 살아나게 됩니다. 남은 시간 동안 ITM으로 변하여 콜옵션의 수익을 기대할 수 있기 때문이죠.

 

자세한 내용은 예전 글에서 다룬 바 있습니다. 잠깐 복습을 해보죠.

 

 

콜옵션의 시간가치

옵션 프리미엄(premium)은 크게

 

옵션프리미엄 = 내재가치 + 시간가치

 

로 이루어져 있다고 했습니다. 내재 가치는 당장 콜옵션을 행사했을 때, 얻는 수익을 말하고, 시간 가치는 만기까지 남은 시간 동안 옵션에서 발생하리라 기대되는 수익인 거죠.

따라서, 직관적으로 생각해 봐도

 

○ 만기까지 많이 남은 경우      : 수익이 발생할 기회가 많아지고 확률이 높아짐 → 시간 가치 큼

○ 만기까지 얼마 안 남은 경우 : 수익이 발생할 기회가 적어지고 확률이 낮아짐 → 시간 가치가 작음  

 

의 경향성이 예상됩니다. 실제적으로도, 예전글의 그림을 참고해 보면,

 

 

만기까지 남은 시간이 줄어들면서, 콜옵션 프리미엄 그래프는 만기 페이오프에 달라붙는다는 것을 알 수 있습니다.

 

이 관찰에서 보듯이 만기까지 남는 시간이 줄어들수록(또는 파생상품의 살아 있는 시간이 가면 갈수록) 가격의 변화가 생기게 됩니다. 이를 세타($\Theta$)라는 그리스 문자로 표현합니다.

 

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콜옵션의 세타는?

 

파생상품의 세타($\Theta$, Theta)는 시점에 대한 파생상품 가격의 변화로 정의합니다. 기초자산이 거래정지 당한 것처럼 아무 변화 없이 그대로 있을 때 시간이 가면서 파생상품의 값어치가 어떻게 변화되는지 나타내는 척도인데, 콜옵션의 가격을 $c(t, S)$라 했을 때, 세타는

 

$$ \frac {\partial c}{\partial t}(t, S)$$

로 정의합니다.

 

이 값을 계산해 보도록 하겠습니다. 우선 콜옵션의 공식(Black Scholes Formula)은 다음과 같습니다. $S, K, T, r, q,\sigma$를 각각 기초자산, 행사가, 만기, 무위험이자율, 연속배당률, 변동성이라 했을 때,

 

$$ c(t, S) = S e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) -  Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2)\tag{1}$$

$$ d_1 = \frac{\ln(S/K)+(r-q+\textstyle{\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}~~,~~ d_2= d_1-\sigma\sqrt{T-t} \tag{2}$$

$\Phi(\cdot), \phi(\cdot)$는 각각 표준정규분포의 cdf, pdf입니다. 참고로 위 식은, 아래의 편미분방정식

 

$$ c_t(t,S) + (r-q) S c_S(t, S) + \frac12\sigma^2 S^2 c_{SS}(t, S) - r c(t, S) =0 \tag {3}$$
$$ c(T,S) = \max(S-K,0)$$

을 풀어서 나옵니다.

 

위의 공식은 여기에서 확인할 수 있습니다. 참고로 해당 글에서 아래의 관계식도 확인할 수 있죠.

 

$$ S e^{-q(T-t)} \phi(d_1) = Ke^{-r(T-t)} \phi(d_2)  \tag{4} $$

 

이제 콜옵션의 세타를 구해보도록 하겠습니다.  식(1)-(5)는 세타 구할 때 쓰여서 다시 한번 소개한 것입니다.

 

 

 

콜옵션의 세타 공식

 

세타를 구하는 방법에는 두 가지가 있습니다. 1) 정의에 입각하여 무식하게 미분을 해보는 방법,  2) 편미분 방정식을 이용하는 방법입니다.

 

1. 무작정 미분

 

콜옵션 공식 (1)을 보면 식에 $T-t$가 일관적으로 들어가 있습니다. 따라서 수식의 번거로움을 없애고 미분의 편암함을 위해 

$$\tau = T-t$$

로 놓겠습니다. 식(1)이 $t$에 대한 함수, 즉 시점에 대한 함수로 쓰였다면, $\tau$로 바꾼 뒤에는 잔존 만기에 대한 함수로 보면 되겠죠. 어쨌든,  수식 기호의 중복을 허용하여

$$ c(t,S) = c(\tau, S)$$

라 쓰고 $\tau$에 대한 미분을 진행해 보겠습니다. 먼저 연쇄법칙(Chain rule)에 의해

$$ \frac{\partial c}{\partial t}(t,S) = \frac{\partial c}{\partial \tau} \frac{\partial \tau}{\partial t} = - \frac{\partial c}{\partial \tau}\tag{5}$$

임을 알아두죠.

 

자, 그럼 미분을 시작해 볼까요?

 

 

$$
\begin{align}
\frac{\partial c}{\partial \tau} &= S\left[ -qe^{-q\tau} \Phi(d_1) +e^{-q\tau}\phi(d_1)\frac{\partial d_1}{\partial \tau} \right]
- K\left[ -re^{-r\tau} \Phi(d_2) +e^{-r\tau}\phi(d_2)\frac{\partial d_2}{\partial \tau} \right]\\
& =  -qSe^{-q\tau} \Phi(d_1) + rK e^{-r\tau} \Phi(d_2) \\
& ~~~~+ S e^{-q\tau}\phi(d_1)\frac{\partial d_1}{\partial \tau} -K e^{-r\tau}\phi(d_2)\frac{\partial d_2}{\partial \tau} \\
& = -qSe^{-q\tau} \Phi(d_1) + rK e^{-r\tau} \Phi(d_2) \\
& ~~~~ + \left(Se^{-q\tau}\phi(d_1)-Ke^{-r\tau}\phi(d_2) \right) \frac{\partial d_2}{\partial \tau} + \frac{Ke^{-r\tau}\sigma\phi(d_2)}{2\sqrt{\tau}}\\
& =-qSe^{-q\tau} \Phi(d_1) + rK e^{-r\tau} \Phi(d_2) + \frac{Ke^{-r\tau}\sigma\phi(d_2)}{2\sqrt{\tau}}
\end{align}
$$

 

그냥 무식한 미분입니다. 마지막 등호는 수식(4)의 관계식 때문입니다.  따라서 이 결과와 식 (5)를 결합하면

콜옵션의 세타 공식

$$ \Theta =qSe^{-q\tau} \Phi(d_1) - rK e^{-r\tau} \Phi(d_2) - \frac{Ke^{-r\tau}\sigma\phi(d_2)}{2\sqrt{\tau}} \tag{6}$$

입니다. 식이 조금 복잡하네요.

 

 

2. 편미분 방정식 이용

 

모든 파생상품에 적용되는 편미분 방정식 (3)을 보시죠. 편미분 방정식 (3)은 아래처럼 우아하게 쓸 수 있습니다.

 

콜옵션의 세타 공식

$$ \Theta + (r-q)S \Delta +\frac12 \sigma^2 S^2 \Gamma -r c =0 \tag{7}$$

 

입니다!! $\Theta, \Delta, \Gamma$는 콜옵션의 세타, 델타, 감마를 뜻하죠.

 

또한  콜옵션의 가격변화에 대한 글에 따르면 콜옵션의 $\Delta, \Gamma$는

그릭(Greeks)	수식
델타, $\Delta$	$$e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) $$
감마, $\Gamma$	$$ \frac{e^{-q(T-t)} \phi(d_1) }{S\sigma \sqrt{T-t}}$$

입니다. 따라서,

$$
\begin{align}
\Theta &= -(r-q) S \cdot \Delta -\frac12\sigma^2S^2 \cdot \Gamma +rc\\
&=-(r-q) Se^{-q\tau} \Phi(d_1) -\frac12\ \sigma^2S^2 e^{-q\tau} \frac{\phi(d_1)}{S\sigma\sqrt{\tau}}
+r\left (Se^{-q\tau} \Phi(d_1) -Ke^{-\tau} \Phi(d_2)\right)\\
& = qSe^{-q\tau} \Phi(d_1) - rK e^{-r\tau} \Phi(d_2) - \frac{Se^{-q\tau}\sigma\phi(d_1)}{2\sqrt{\tau}} \tag{8}
\end{align}
$$

 

식(6), (8)은 사뭇 달라 보이지만, (4)의 관계식 때문에 사실은 같은 식이죠.

 

 

지금까지 어렵사리, 콜옵션 세타 공식을 계산해 봤습니다. 과연 세타는 콜옵션 가치 변동에 어떤 역할을 담당할지,  다음 글에서 계속하도록 하겠습니다.