FDM #9, Laplace Equation의 풀이(1)

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2023.01.27 - [수학의 재미/아름다운 이론] - FDM #8, Wave Equation(파동방정식)의 풀이(1)

FDM #8, Wave Equation(파동방정식)의 풀이(1)

에서 우리는 Wave Equation이라는 유명한 편미분 방정식을 FDM으로 해결하는 방법을 알아보았습니다.

 

이제, Heat Equation, Wave Equation에 이어 유명 편미분 방정식 3 대장 중 마지막 하나인

 

Laplace Equation

을 FDM으로 해결하는 방법을 알아볼까 합니다.

 

 

 

Laplace Equation이란?

 

Laplace Equation을 만족하는 2변수 함수 $u(x, y)$는 아래의 관계식이 있습니다.

$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0~~,~~ 0\leq x\leq a, 0\leq y \leq b \tag{L.E.}$$
 

여기에 다음의 경계조건 (Boundary coundition)을 가지고 있습니다. 모든 &0\leq x\leq a, 0\leq y \leq b &에 대해,

$$
\begin{align}
u(0,y)&=0 \tag{BC1}\\
u(a,y)&=0 \tag{BC2}\\
u(x,0)&=0 \tag{BC3}\\
u(x,b)&=f(x) \tag{BC4}
\end{align}
$$

$y$ 값의 경계값인 $y=b$에서는 경곗값이 어떤 함수 $f(x)$로 결정됩니다. 그림으로 표시하면 아래와 같아요.

 

 

이 방정식도 Heat Equation이나 Wave Eqaution과 마찬가지로, 격자로 이산화(discretization)시킵니다.

 

 

Laplace Equation의 이산화 과정

 

$$0=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_J =a$$

로 $x$축을 균등분할하고, 분할간격은 $h_x$라 합시다.

$y$축은

$$ 0= y_0<y_1<y_2<\cdots <x_K = b$$ 로 분할 간격 $h_y$인 격자를 만듭니다. 마지막으로 격자점 $ (x_j ,y_k)$에 대해서

$$u_{j,k} := u(x_j, y_k)~~,~~ 1\leq j\leq J~,~ 1\leq k\leq K$$

라 씁시다. 그러면 유한차분법에 의해

$$
\begin{align}
 \frac{\partial^2 u(x_j,y_k)}{\partial x^2} & \approx \frac{u(x_j+h_x, y_k)-2u(x_j,y_k)+u(x_j-h_x,y_k)}{h_x^2}\\
& = \frac{u(x_{j+1},y_k)-2u(x_j,y_k)+u(x_{j-1},y_k)}{h_x^2}\\
&  =\frac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2} 
\end{align}
$$

 

마찬가지 방법으로


$$ \frac{\partial^2 u(x_j,y_k)}{\partial y^2}  \approx \frac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2} $$

을 얻습니다. 따라서 Laplace equation의 본체는

$$ \frac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}  + \frac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}  =0 \tag{1}$$
이 됩니다.

더욱 더 간단히 하기 위해 $h_x =h_y$라 하면 식(1)은 다음처럼 정리됩니다.

$$ u_{j,k} = \frac{1}{4} \left(u_{j+1,k}+u_{j-1,k} + u_{j,k+1}+u_{j,k-1}  \right)\tag{2}$$

 

그림으로 보자면 아래 격자처럼 영향을 주고받는 관계가 됩니다.

 

 

 

Laplace Equation FDM 해법

 

Laplace Equation의 해법은 독특하면서도 재미있습니다.  바로 Jacobi Iteration이라는 방법을 써서 재귀적으로 해를 찾아가는 방법인데요, 우선 소개를 하겠습니다. 절차는 다음과 같습니다.

 

FDM 절차

1. $u_{j,k}~,~ 1\leq j\leq J, 1\leq k \leq K$를 초기화한다(예를 들어 모든 값을 0이라 놓는다.)

2. $u_{0,k} =0 ~,~ u_{J,k}=0~, u_{j,0} = 0, u_{j,K}=f(x_j)$ 같이 끝 격자들에 경계조건을 대입!

3. 새로운 격자판 $u_{j,k}^{(2)}$를 만들고, 이 경계조건은 2번과 똑같이 한다.

4.  아래 식을 이용하여 $u_{j,k}^{(2)}$의 값들을 모두 결정해 준다.
$$ u_{j,k}^{(2)} = \frac{1}{4} \left(u_{j+1,k}+u_{j-1,k} + u_{j,k+1}+u_{j,k-1} \right)$$

5. 이제 $u_{j,k}^{(2)}$를 기준으로 하고 위의 1-4 번을 반복하여 $u_{j,k}^{(3)}$ 값들을 만든다.

6. 반복적으로 $u_{j,k}^{(4)}, u_{j,k}^{(5)} ,\cdots$ 를 만들 수 있다.

7. 어떤 허용치(tolerance)를 설정하여 $u_{j,k}^{n}$과 $u_{j,k}^{(n+1)}$의 값이 허용치안에서 비슷하도록 하는, 즉 더 이상 값이 유의미하게 변하지 않는 상태를 찾으면 끝! 

즉, 다음의 점화식을 푸는 것이라 생각하면 됩니다.

 

$$ u_{j,k}^{(n+1)} = \frac{1}{4} \left(u_{j+1,k}^{(n)}+u_{j-1,k}^{(n)} + u_{j,k+1}^{(n)}+u_{j,k-1}^{(n)} \right)\tag{3}$$

 

그리고 어떤 허용치(tolerance) $\epsilon >0$ 을 주어

 

$$ \sqrt{\sum_{j=0}^J \sum_{k=0}^K (u_{j,k}^{(n+1)} -u_{j,k}^{(n)})^2} < \epsilon\tag{4}$$ 

을 만족하는 $n$을 찾으면 이 상태의 $u_{j,k}^{(n)}$이 바로 Laplace equation의 FDM 값이 되는 것입니다.

 

 

수식(3)을 Jacobi Iteration이라 부르는데요, 일반적으로 Iteration으로 얻은 값은 사실 수렴하지 않을 수도 있고, 수렴하더라도 답이 틀릴 가능성도 있습니다. 하지만, Laplace Equation에 있어서 만큼은 해당 방법의 적합성이 보장되어 있고 실제로 많이 쓰는 방법입니다. 믿고 쓸 수 있습니다.

 

수식(4)의 좌변은 놈(norm)이라 부르는 값입니다. 일반적으로 2차원 배열 또는 행렬 $\mathbf{A}$에 대하여 $\mathbf{A}$의 norm은 아래 처럼 정의합니다.

Norm의 정의(Frobenius Norm)

$\mathbf{A}$ 이 $n\times m$ 행렬 또는 2차원배열이라 할 때, $\mathbf{A}$의 norm $\| \mathbf{A} \|$ 는
$$\|\mathbf{A}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_{ij}^2},$$
즉, 모든 행렬 원소의 제곱의 합이다.

행렬의 norm은 어떻게 보면 영행렬 $\mathbf{O}$와의 거리 개념을 제공하는 값입니다. 행렬의 norm을 정의하는 방법은 무수히 많지만, 이 중에 Frobenius Norm을 설명했습니다.

행렬의 norm 개념을 이용하면 두 행렬의 거리가 가깝다는 것도 수학적으로 표시할 수 있습니다. 두 행렬 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$가 같은 차원의 행렬일 때, 두 행렬 간의 거리는

$$\| \mathbf{A} -\mathbf{B}\|$$

로 정의할 수 있습니다. 이 값이 0에 가까울수록 두 행렬 간의 거리가 가깝다고 생각할 수 있습니다.

 

 

다음 글에서 Laplace Equation의 예시를 하나 들고, 그 예시를 FDM으로 해결해 보겠습니다.