1star 스텝다운 ELS의 계산(Binomial Tree) #1

 

이번 글은

2022.12.20 - [금융공학] - 1star 스텝다운 ELS의 계산(FDM) #2

1star 스텝다운 ELS의 계산(FDM) #2

에서 이어집니다.

 

몇 회의 글에 걸쳐 1star 스텝다운 ELS의 가격을 계산해 보고 있습니다. 지금까지 MonteCarlo Simulation, FDM 두 가지 방법으로 계산해 보았는데요,

 

○ MonteCarlo Simulation : 1star 스텝다운 ELS의 계산(시뮬레이션), 1star 스텝다운 ELS의 계산(시뮬레이션 + 브라운브리지             

 

○ FDM : 1star 스텝다운 ELS의 계산(FDM) #1, 1star 스텝다운 ELS의 계산(FDM) #2   

 

를 참고하시면 됩니다.

 

ELS 가격을 산출하는 또 다른 방법론은 없을까요? 본 블로그에서 알아본 다른 가격결정 방법들이 있습니다. 바로 Closed form, 즉 공식을 유도하여 계산하는 방법,  이항트리(binomial tree)를 이용하는 방법이 있죠.

 

ELS 상품은 조기상환 기회가 여러 개 있고, 낙인 여부까지 관찰을 해야 하므로 수학적인 공식을 만들기 굉장히 난해합니다.(항간에는 수학적 공식이 있다는 얘기도 들리긴 했지만, 눈으로 직접 확인해 본 바는 없습니다. 있어도 상당히 복잡하고 계산시간이 오래 걸릴 것 같은 게 개인적인 생각입니다.)

어쨌든 수학공식은 직접 유도를 하든, 아니면 이론을 찾든지 해서 성과가 있으면 소개하기로 하고요, 이 글에서는 남은 한 가지 방법

 

 

이항트리를 이용하여 스텝다운 ELS 가격 계산하기

 

를 해보도록 하겠습니다.

 

 

이항트리 복습

 

이항트리는 예전에 자세하게 다룬 바 있습니다.

2022.08.12 - [금융공학] - 파생상품의 가격 결정: binomial tree를 이용해 봅시다.

파생상품의 가격 결정: binomial tree를 이용해 봅시다.

에서 소개를 해 놓았으니, 참고해보시면 되겠습니다. 간단히 설명하자면,

 

이항 모형 만들기

먼저 한 단계 과정인 이항 모형, 즉 주가가 up 또는 down 두 가지 경우만 존재한다고 가정하고,위험 중립이 되도록

up, down 비율 $u,d$와  상승/하락확률 $p , 1-p$를 찾아냅니다.

 

 

이항 모형을 이어붙여 이항트리 만들기

이항 모형이 한 단계 과정이라면, 이것을 이어 붙여 다단계 과정을 만듭니다. 이때 recombination을 위해 상승했다가 하락하면 다시 원위치 즉, $ud=1$이 되도록 세팅합니다. 이렇게 하여 타임노드 $N$개를 만들어 이어 붙이면 아래와 같은 삼각형 모양이 됩니다.

 

[그림1] 이항트리 노드의 생김새

 

 

상품 가치 계산

위의 그림에서 제일 먼저 $N$일 때(제일 우측) 모든 노드에 대한 페이오프를 구하고, 각 노드를 확률 가중하고 할인하여 전 노드의 모든 갑을 구성합니다. 구체적으로 time step $n$과 stock step $i$에 위치한 노드의 파생상품 가치를 $f(n,i)$라 한다면,

$$ f(n,i) = e^{-r\Delta t} \left[ p f(n+1, i+1) +(1-p) f(n+1,i) \right]$$

로 backward recursion formula를 풀어나가면 어느새 $f(0,0)$에 도착할테고, 이것이 현재시점 $t=0$에서의 파생상품 가치가 됩니다.

 

 

ELS 상품은 페이오프가 복잡합니다. FDM 격자판을 구성할 때도

○ 낙인 격자판, 노낙인 격자판 두 판 작성

○ 각 조기상환 시점에 맞는 time step에서는 조기상환 조건에 따라 페이오프 치환

○ 각 time step 별로 낙인 배리어를 하회한 stock level에 대해서는 노낙인 격자판의 값을 낙인 격자판의 값으로 치환

 

의 방법을 썼지요. 이항 트리도 마찬가지 입니다.  구체적으로 살펴보겠습니다.

 

 

 

ELS의 이항트리

 

두 개의 이항트리 준비

 

우선 두 개의 이항트리를 준비합니다. 하나는 낙인 상황을 가정한 이항트리, 다른 하나는 낙인 안친 상황의 이항트리입니다. 아래 그림을 참고해 보세요.

 

노낙인 이항트리 : 만기페이오프가 3갈래로 분리됨

 

 

낙인이항트리: 쿠폰과 손실상환 두 갈래의 페이오프

 

 

 

상환 시점 별 페이오프 업데이트 하기

만기시점 노드부터 backward로 오다가 5차 조기상환을 만나면 해당 배리어 이상의 stock 노드는 다 쿠폰으로 치환해 줍니다.

5차 조기상환 시점 노드까지 모두 계산 후, 배리어 이상인 부분을 쿠폰+원금으로 치환

 

이 작업은 4차, 3차,... , 1차 조기상환 시점을 만나면 똑같은 방법으로 해줍니다.

노낙인 이항트리, 낙인 이항트리 각각에 대해 해줘야 합니다.

 

 

각 타임 노드별로 노낙인/ 낙인 이항트리 섞기

낙인 이항트리의 낙인 배리어 밑에 위치한 노드들의 값을 노낙인 이항트리에 반영해 줍니다. 그림으로 보면 아래와 같습니다.

 

낙인 트리, 노낙인 트리의 짬뽕

 

 

초기 노드 값 추출

위의 과정을 모두 행해 주면 모든 노드의 값이 채워지게 되고 이 중 시점 0인 노드를 선택하면 ELS의 현재가치가 됩니다.

 

 

 

이론을 알아보았으니, 다음 글에서 직접 coding을 통하여 ELS 가격을 구해보고 FDM 가격과 비교해 보도록 하겠습니다.