Irwin-Hall Distribution

 

 

 

independent identically distrubuted(iid, 독립항등분포) 를 만족하는 uniform random variable $n$개를 가정합시다. $n$개의 확률분포 

$$U_1, U_2,\cdots, U_n$$

이 서로 identical 하고 independ 할 때, 

$$X = \sum_{k=1}^n U_k$$

의 CDF, PDF는 각각 다음과 같습니다.

$$F_X(t;n) = \sum_{i=0}^n \Big[ (-1)^i {n \choose i} \frac{(t-i)^n}{n!} s_i(t) \Big]$$

 

$$f_X(t;n) = \sum_{i=0}^n \Big[ (-1)^i {n \choose i} \frac{(t-i)^{n-1}}{(n-1)!} s_i(t) \Big]$$

 

여기서 $s_i(t)$는 $t<i$일 때는 $0$, $t\ge i$ 일 때는 $1$인 step function입니다.

 

$F_X(t;n) = \mathbb{P}(X\le t)$ 인 cdf 이고, $f_X(t;n) = F'_X(t;n)$ 인 pdf입니다.

$X$ 의 분포를 Irwin-Hall distribution 이라 부릅니다.

 

$F_X(t;n)$ 은 아래와 같이도 쓸 수 있습니다.

 

$$F_X(t;n) = \frac{1}{n!}\sum_{i=0}^{\lfloor t \rfloor}  (-1)^i {n \choose i} (t-i)^n$$

 

여기서 $\lfloor t \rfloor$는 $t$를 넘지 않는 최대의 정수를 뜻합니다. 그리고 $x$는 $[0,n]$사이의 수입니다.