타원의 접선이 수직으로 만난다면?

 

 

타원과 관련한 아름다운 사실이 있어서 소개를 해 볼까 합니다.

한 점에서 타원에 그은 두 접선이 수직으로 만난다면, 그 점이 이루는 자취는 뭘까?

타원의 방정식을 

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \tag{1}$$

이라 하고 우리가 관심이 있는 점을 $(X,Y)$라 합시다. 이 점을 지나는 직선의 방정식을

$$y = m(x-X)+Y \tag{2}$$  

라 쓸 수 있죠.

 

식(2)의 직선의 방정식이 식(1)의 타원에 접하길 기대하는 거죠. 따라서

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(m(x-X)+Y)^2}{b^2} =1 \tag{3}$$

이 중근 즉, 판별식이 0이어야 합니다.

 

식(3)을 정리하면

$$b^2 x^2 + a^2 (mx +(Y-mX))^2 = a^2 b^2$$

이고, $x$에 대한 식으로 깔끔(?) 하게 정리하면

 

$$(b^2 +a^2m^2)x^2 + 2m(Y-mX)a^2 x + a^2(Y-mX)^2 -a^2b^2 =0$$

입니다. 따라서

$$D/4 = m^2 a^4(Y-mX)^2 - (b^2 +a^2m^2)[a^2(Y-mX)^2 -a^2b^2] =0$$

 

이고 이것을 $m$에 대한 식으로 정리 하면

$$(a^2 -X^2)m^2 + 2XY m + (b^2 -Y^2) =0 \tag{4}$$

이 나옵니다. 

 

따라서, 식(4)의 $m$이 두 근 $m_1, m_2$를 가져야 하고 , 이 두 근의 곱 $m_1m_2 =-1$이 나와야 합니다.

 

(4)의 판별식은

$$D/4 = (XY)^2 - (a^2-X^2)(b^2- Y^2) >0$$ 이어야 하고, 이것을 정리하면

$$\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} >1$$

입니다. 즉,  점 $(X,Y)$는 타원 바깥의 점이어야 한다는 얘기죠. 그건 자명합니다. 타원 안에서는 타원에 접선을 그릴 수 없기 때문이죠.

 

이제 $m_1 m_2=-1$을 이용하면 근과 계수와 이 관계에 의해서

$$-1 = m_1 m_2 = \frac{b^2-Y^2}{a^2- X^2}$$

이고

 

$$X^2+Y^2 = a^2+b^2$$

 

이 됩니다. 즉 중심이 타원의 중심과 같고, 반지름이 $\sqrt{a^2 + b^2}$인 원이 되는 것입니다.

 

 

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python 차트 연습도 할 겸 위의 문제를 그려 보겠습니다.

 

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def plot_ellipse():
    a = 2
    b = 1
    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
    x = a * np.cos(theta)
    y = b * np.sin(theta)
    plt.plot(x, y, color='gray', linestyle='-')
    radius = np.sqrt(a**2+b**2)
    x_line = np.linspace(-10,10,1000)
    res_x  =[]
    res_y=[]
    for t in theta:
        cir_x = radius*np.cos(t)
        cir_y = radius*np.sin(t)
        res_x.append(cir_x)
        res_y.append(cir_y)
        coeff = 2*cir_x*cir_y/(a**2 - cir_x**2)
        slope1= (-1*coeff + np.sqrt(coeff**2+4))/2
        slope2 = (-1 * coeff - np.sqrt(coeff ** 2 + 4)) / 2
        plt.xlim([-3, 3])
        plt.ylim([-3, 3])
        plt.plot(x, y, color='gray', linestyle='-')
        plt.plot(cir_x,cir_y,'b', marker ='o')
        plt.plot(res_x, res_y, 'b')
        plt.plot(x_line, slope1*(x_line-cir_x)+cir_y,'r')
        plt.plot(x_line, slope2 * (x_line - cir_x) + cir_y, 'r')
        plt.pause(0.05)
        plt.cla()

    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    plot_ellipse()

 

 

code를 간단히 볼까요?

    a = 2	#장축을 a
    b = 1	#단축을 b
    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)	#theta을 0에서 2π까지 돌리면서
    x = a * np.cos(theta)	#타원의 x좌표를 설정
    y = b * np.sin(theta)	#타원의 y좌표를 설정
    plt.plot(x, y, color='gray', linestyle='-')	#타원위의 점을 plotting한다.​

식(1)의 타원의 방정식은

$$x= a\cos\theta, y = b\sin\theta~~,~~0\leq \theta\leq 2\pi$$

로 매개변수 방정식으로 쓸 수 있습니다.

 

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    radius = np.sqrt(a**2+b**2)	#문제의 결과는 반지름이 sqrt(a^2+b^2)인 원이라 반지름을 설정
    x_line = np.linspace(-10,10,1000)	#접선을 그리기 위해 x좌표 설정
    res_x  =[]	#문제의 결과인 원의 x좌표를 저장할 list
    res_y=[]	#문제의 결과인 원의 y좌표를 저장할 list

 

 

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    for t in theta:
        cir_x = radius*np.cos(t)	#원의 x좌표
        cir_y = radius*np.sin(t)	#원의 y좌표
        res_x.append(cir_x)		#원의 x좌표를 res_x에 추가
        res_y.append(cir_y)		#원의 y좌표를 res_y에 추가
        coeff = 2*cir_x*cir_y/(a**2 - cir_x**2)		#아래 설명 참조
        slope1= (-1*coeff + np.sqrt(coeff**2+4))/2	#아래 설명 참조
        slope2 = (-1 * coeff - np.sqrt(coeff ** 2 + 4)) / 2	#아래 설명 참조
        plt.xlim([-3, 3])	#그래프의 x좌표를 -3과 3사이로 설정
        plt.ylim([-3, 3])	#그래프의 y조표를 -3과 3사이로 설정
        plt.plot(x, y, color='gray', linestyle='-')	#타원을 그림
        plt.plot(cir_x,cir_y,'b', marker ='o')		#원위의 점을 o라는 marker를 사용하여 그림
        plt.plot(res_x, res_y, 'b')		#시간이 지나며 갱신되는 원의 자취를 그림
        plt.plot(x_line, slope1*(x_line-cir_x)+cir_y,'r')	#접선1을 그림
        plt.plot(x_line, slope2 * (x_line - cir_x) + cir_y, 'r')	#접선2를 그림
        plt.pause(0.05)	#0.05초만큼의 정지화면을 주어 그래프의 animation을 효과를 줌
        plt.cla()	#화면 지우는 함수

수식(4)를 좀 더 간략히 쓰면 

$$m^2 + \frac{2XY}{a^2-X^2} m -1 = 0$$  

이 됩니다. 

$$c= \frac{2XY}{a^2-X^2}$$ 라고 두면, $m^2 + cm-1=0$의 두 근은

$$m_1, m_2 = \frac{-c\pm\sqrt{c^2+4}}{2}$$

이므로 위의 code의 coeff, slope1, slope2를 설명할 수 있습니다.

 

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결과는 아래와 같습니다. scale 때문에 원이 아닌 것 같이 보이네요.